Känna till beteckningarna \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log och \displaystyle \log_{a}.
Beräkna enkla logaritmuttryck med hjälp av logaritmens definition.
Logaritmen är bara definierad för positiva tal.
Känna till talet \displaystyle e.
Hantera logaritmlagarna i förenkling av logaritmuttryck.
Veta när logaritmlagarna är giltiga.
Uttrycka en logaritm i termer av en logaritm med en annan bas.
Lösa ekvationer som innehåller exponentialuttryck och som med logaritmering leder till förstagradsekvationer.
Avgöra vilket av två logaritmuttryck som är störst bas
•
Logaritmlagarna
Detta avsnitt ingår i matematik 2b och matematik 2c.
Som vi såg i avsnittet om tiologaritmer så är logaritmer väldigt viktiga för att kunna lösa exponentialekvationer, det vill säga ekvationer med x i exponenten.
Det finns ett gäng logaritmlagar som kan vara bra att komma ihåg som förenklar ens tillvaro när vi ska lösa exponentialekvationer.
Det finns tre stycken logaritmlagar som vi kan härleda utifrån potenslagarna och definitionen för tiologaritmer. Här nedan presenterar vi logaritmlagarna och deras härledning.
Första logaritmlagen
Första logaritmlagen talar om vad som händer vid multiplikation. Med andra ord vad
$$\lg(x \cdot y)$$
är?
Vi börjar med att skriva om talen x och y som potenser med basen 10
$$x=10^{\lg(x)}$$
$$y=10^{\lg(y)}$$
Och använder detta till att skriva om uttrycket ovan
Med hjälp av potenslagen för multiplikation av potenser med samma bas
$$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$
•
Logaritmer är ett sätt att hantera exponenter så att du kan lösa exponentialekvationer. Vi kan se logaritmen som en invers till en exponentialfunktion.
Vi beskriver logaritmer på tre olika sätt. Först med en formel, därefter med vanligt språk och slutligen med en graf.
$a^x=b \leftrightarrow x=log_a(b)$
Med andra ord står det här ovan i formeln att ”logaritmen av ett tal b är den exponent x man måste upphöja basen a till, för att få talet b”.
Det kan vara svårt i början att förstå vad detta egentligen innebär. Därför är det viktigt att vi presenterar samma information med hjälp av en bild.
Här ovan är grafen till $y=10^x$ utritad. Det tal vi upphöjer 10 med för att få ungefär 2,98 är 0,6. Därför är log(3,98) = 0,6. Med andra ord betyder det att det tal vi upphöjer 10 med för att 3,98 är log(3,98). Om du fortfarande upplever att detta är svårt att förstå rekommenderar vi att du går in i vår videolektion om logaritmer.